Análisis Causal Económico Aplicando Modelos de Ecuaciones Estructurales

Introducción

Esta entrada presenta formas de abordar los problemas económicos mediante la aplicación de diversas técnicas cuantitativas. Cubre el modelo de ecuaciones estructurales (o SEM, por sus siglas en inglés: “structural equation model”). Tenga en cuenta que este no es un método único, sino un marco que incluye múltiples métodos. Así pues, este método sirve para muchos propósitos:

• Aplica análisis de covarianza, para investigar la variabilidad conjunta.
• Aplica análisis de correlación, para investigar la dependencia estadística.
• Aplica análisis factorial, para investigar la variabilidad explicada por los datos sobre el modelo.
• Aplica análisis de regresión multivariable, para investigar cómo varias variables predictoras influyen en la variable de respuesta.

También utiliza el análisis de rutas para investigar modelos estructurales sin modelos de medición.

Los modelos de ecuaciones estructurales incluyen un conjunto de modelos que determinan la naturaleza de las relaciones causales entre conjuntos de variables. Incluye análisis factorial, análisis de ruta y análisis de regresión. Ayuda a los desarrolladores a investigar las relaciones de mediación, para que puedan detectar cómo la presencia de otras variables debilita o fortalece la naturaleza de la relación estructural entre la variable predictora y la variable de respuesta.

SEM tiene una ventaja sobre otros modelos estadísticos, ya que investiga múltiples relaciones para predecir múltiples variables de respuesta al mismo tiempo. La Figura 1 muestra cómo funcionan los modelos de aprendizaje automático. La mayoría de los modelos se centran en la influencia directa de las variables predictoras sobre una variable de respuesta.

Figura 1. Modelo de aprendizaje automático.

La Figura 1 muestra que x tiene una influencia directa sobre y. Se puede usar una función para operar en una variable predictora (x) y generar un valor de salida (y). Cuando hay más de una variable de respuesta, el modelo experimenta problemas. También es tedioso estimar múltiples ecuaciones por separado. Aquí es donde entra SEM. SEM maneja más que la variable predictora. Además, permite al desarrollador considerar los efectos mediadores de otras variables.

Enmarcando relaciones estructurales

SEM le permite investigar los efectos directos e indirectos. La Figura 2 muestra que la variable m media la relación estructural entre x e y. El mediador ayuda a determinar si m debilita o fortalece la relación.

Figura 2. Modelo de ecuación estructural

En la Figura 2, x representa la variable predictora, y representa la variable de respuesta y m representa la variable mediadora. SEM estudiará el efecto directo de x sobre y y los efectos indirectos de m sobre la relación entre x e y al mismo tiempo. Esto le permitirá tener múltiples ecuaciones.

Contexto matemático

La Figura 3 demuestra el marco hipotético que se explora a continuación.

Figura 3. Marco hipotético

Las principales preguntas de investigación son:

• ¿En qué medida influye el crecimiento del PIB per cápita sueco (como porcentaje anual) en el gasto de consumo final (en dólares estadounidenses corrientes)?
  
• ¿Cómo afecta la inflación sueca/índice de precios al consumidor (como porcentaje) al gasto de consumo final (en dólares estadounidenses corrientes)?

Las preguntas de investigación secundarias incluyen:

• ¿Afecta la esperanza de vida al nacer en Suecia (en años) la relación entre el crecimiento del PIB per cápita (como porcentaje anual) y el gasto de consumo final (en dólares estadounidenses corrientes)?

Con base en estas preguntas de investigación, las hipótesis de investigación son las siguientes:

• H0: La inflación sueca/índice de precios al consumidor (como porcentaje) no afecta el gasto de consumo final (en dólares estadounidenses actuales).
  
• HA: Inflación sueca/índice de precios al consumidor (como porcentaje) impactan en el gasto de consumo final (en dólares estadounidenses corrientes).
  
• H0: El crecimiento del PIB per cápita sueco (como porcentaje anual) no afecta el gasto de consumo final (en dólares estadounidenses corrientes).
  
• HA: El crecimiento del PIB per cápita sueco (como porcentaje anual) afecta el gasto de consumo final (en dólares estadounidenses corrientes).
  
• H0: La esperanza de vida sueca no afecta la relación entre el crecimiento del PIB per cápita (como porcentaje anual) y el gasto de consumo final (en dólares estadounidenses actuales).
  
• HA: La esperanza de vida sueca afecta la relación entre el crecimiento del PIB per cápita (como porcentaje anual) y el gasto de consumo final (en dólares estadounidenses actuales).

La siguiente Tabla 1 describe los indicadores macroeconómicos.

Tabla 1. Indicadores macroeconómicos suecos

Marco teórico

De nuevo, la Figura 3 proporciona el marco para este problema.

Figura 3. Marco hipotético

Antes de continuar, se debe instalar la biblioteca semopy en el entorno de trabajo. Para instalar semopy en un entorno de Python, use el siguiente código:

import warnings
warnings.filterwarnings('ignore')

# !pip install semopy
# !pip install wbdata

Gasto en consumo final

El siguiente gráfico muestra el valor de mercado de todos los bienes y servicios comprados por los hogares suecos. Esto incluye productos duraderos como automóviles y computadoras personales. Ejecutando el código que se presenta a continuación:

import wbdata
import matplotlib.pyplot as plt

# Gráfico de línea de gasto de consumo final sueco:
pais = ["SWE"]
indicador = {"NE.CON.TOTL.CD":"consumo_final"}
consumo_final = wbdata.get_dataframe(indicador, 
                                     country = pais, 
                                     convert_date = True)
consumo_final.plot(kind = "line",
                   color = "green",
                   lw = 4)
plt.title("Gasto de consumo final sueco")
plt.ylabel("Gasto de consumo final")
plt.xlabel("Fecha")
plt.show()

El gráfico muestra un crecimiento ascendente persistente en el gasto de consumo final sueco desde 1960. Estaba en su nivel más bajo en 1960 y alcanzó su punto máximo en 2020.

Inflación y precios al consumidor

La inflación y los precios al consumidor juntos se utilizan para estimar la inflación. Esto se estima en parte por los cambios anuales en el índice de precios al consumidor (una estimación del costo que paga el consumidor promedio por bienes o servicios). Es un indicador ejemplar para determinar el costo de vida en un país específico. El siguiente gráfico muestra la inflación sueca anual y los precios al consumidor. Ejecutando el código que se presenta a continuación:

import wbdata
import matplotlib.pyplot as plt

# Gráfico de inflación sueca y precios al consumidor (como porcentaje anual):
pais = ["SWE"]
indicador = {"FP.CPI.TOTL.ZG":"inflacion"}
inflacion = wbdata.get_dataframe(indicador, 
                                 country = pais, 
                                 convert_date = True)
inflacion.plot(kind = "line", 
               color = "orange", 
               lw = 4)
plt.title("Inflación sueca, precios al consumidor (% anual)")
plt.ylabel("Inflación, precios al consumidor (% anual)")
plt.xlabel("Fecha")
plt.show()

El gráfico muestra que la inflación y los precios al consumidor suecos se triplicaron desde fines de la década de 1960 hasta principios de 1980. Este indicador alcanzó su pico más alto en 1982 (15).

Esperanza de vida en Suecia

El siguiente gráfico muestra el número promedio de años que se prevé que vivirá un bebé sueco recién nacido, suponiendo que el patrón de mortalidad actual siga siendo el mismo en el futuro. Ejecutando el código que se presenta a continuación:

import wbdata
import matplotlib.pyplot as plt

# Gráfico de la esperanza de vida sueca al nacer (en años):
pais = ["SWE"]
indicador = {"SP.DYN.LE00.IN":"esperanza_vida"}
esperanza_vida = wbdata.get_dataframe(indicador, 
                                      country = pais, 
                                      convert_date = True)
esperanza_vida.plot(kind = "line", 
                    color = "navy", 
                    lw = 4)
plt.title("Esperanza de vida sueca al nacer, total (años)")
plt.ylabel("Esperanza de vida al nacer, total (años)")
plt.xlabel("Fecha")
plt.show()

El gráfico muestra una tendencia ascendente extrema en la esperanza de vida sueca, con un declive después del 2021. En 1960, la esperanza de vida media era de 74 años. A partir de 2020, ese número superaba los 82 años.

Crecimiento del PIB per cápita

El crecimiento del PIB per cápita es el PIB anual dividido por la población de una economía. El siguiente gráfico muestra el crecimiento del PIB per cápita sueco (como porcentaje anual). Ejecutando el código que se presenta a continuación:

import wbdata
import matplotlib.pyplot as plt

# Gráfico del crecimiento del PIB per cápita sueco (como porcentaje anual):
pais = ["SWE"]
indicador = {"NY.GDP.PCAP.KD.ZG":"PIB"}
PIB = wbdata.get_dataframe(indicador, 
                           country = pais, 
                           convert_date = True)
PIB.plot(kind = "line", 
         color = "red", 
         lw = 4)
plt.title("Crecimiento del PIB per cápita sueco (% anual)")
plt.ylabel("Crecimiento del PIB per cápita (% anual)")
plt.xlabel("Fecha")
plt.show()

El gráfico muestra muestra que el crecimiento del PIB per cápita sueco es inestable. Alcanzó su pico más bajo en 2019 (en 5.151263) y su pico más alto en 1970 (en 6.292338).

El siguiente código recupera todos los datos macroeconómicos suecos:

# Cargar indicadores macroeconómicos suecos:
pais = ["SWE"]
indicador = {"NE.CON.PRVT.ZS":"consumo_final", 
             "FP.CPI.TOTL.ZG":"inflacion", 
             "SP.DYN.LE00.IN":"esperanza_vida", 
             "NY.GDP.PCAP.KD.ZG":"PIB"}
df = wbdata.get_dataframe(indicador, 
                          country = pais, 
                          convert_date = True)

El siguiente código muestra un resumen descriptivo (consulte la Tabla 2):

# Resumen descriptivo:
df.describe().transpose()

Tabla 2. Resumen descriptivo

La Tabla 2 muestra que, para Suecia:

• El gasto de consumo final medio es de 48.786822.
  
• El índice medio de inflación/precios al consumidor es 4.263431.
  
• La esperanza de vida media es de 77.845010 años.
  
• El crecimiento medio del PIB per cápita es del 1.975999.
  
• Los puntos de datos independientes del gasto de consumo final se desvían del valor medio en 2.724268.
  
• El índice de inflación/precios al consumidor se desvía en 3.653239.
  
• La esperanza de vida se desvía en 3.053400 años.
  
• El crecimiento del PIB se desvía un 2.283209.
  

Análisis de covarianza

El siguiente código investiga la variabilidad conjunta entre variables:

# Matriz de covarianza:
dfcov = df.cov()
dfcov

Tabla 3. Matriz de covarianza

La Tabla 3 describe la covarianza estimada del conjunto de variables que se recuperó.

Análisis de correlación

El siguiente gráfico muestra la dependencia estadística entre las variables, que se determina a partir del código que se presenta a continuación:

import seaborn as sns

# Matriz de correlación de Pearson:
correlacion_df = df.corr(method = "pearson")
sns.heatmap(correlacion_df, 
            annot = True, 
            annot_kws = {"size": 12}, 
            cmap = "Blues")
plt.title("Matriz de correlación de Pearson")
plt.show()

Tabla 4. Interpretación de los Coeficientes de Correlación de Pearson

La Tabla 4 interpreta los resultados del grafico anterior.

Después de descubrir la correlación entre estas variables, se puede crear una gráfica para representar las relaciones de correlación. El siguiente código muestra los gráficos de pares resultantes:

import seaborn as sns

# Gráficos de pares:
sns.pairplot(df)

<seaborn.axisgrid.PairGrid at 0x2343f0644c0>

El gráfico muestra histogramas de todas las variables y diagramas de dispersión de las relaciones entre variables en los datos.

Análisis de gravedad de correlación

El siguiente código determina la severidad de cada dependencia aplicando la matriz propia (véase la Tabla 5). Los valores propios son una medida de las varianzas máximas.

import pandas as pd
import numpy as np

# Valores propios:
valores_propios, vectores_propios = np.linalg.eig(correlacion_df)
valores_propios = pd.DataFrame(valores_propios)
valores_propios.columns = ["Valores propios"]

# Vectores propios:
vectores_propios = pd.DataFrame(vectores_propios)
vectores_propios.columns = df.columns
vectores_propios = pd.DataFrame(vectores_propios)

# Matriz propia:
matriz_propia = pd.concat([valores_propios, vectores_propios], axis = 1)
matriz_propia.index = df.columns
matriz_propia

Tabla 5. Matriz propia

Con base en la Tabla 5, no hay multicolinealidad en los datos. Los valores propios están todos por debajo de 3.

Estimación del modelo de ecuación estructural

SEM opera sobre variables aplicando el método de Máxima Verosimilitud o el método general de mínimos cuadrados. El método de máxima verosimilitud funciona cuando no se cumplen los supuestos implícitos de la regresión y determina los parámetros que mejor se ajustan a los datos. El método general de mínimos cuadrados hace la regresión de las variables. El siguiente código estructura el marco hipotético del modelo.

import semopy
import wbdata
from semopy import Model
import semopy
import wbdata
from semopy import Model

# Desarrollar una estructura hipotética:
modelo = """
         esperanza_vida ~ PIB
         consumo_final ~ inflacion + esperanza_vida + PIB
         """

Desarrollo del modelo de ecuación estructural

El siguiente código entrena SEM con los hiperparámetros predeterminados.

# Modelo de ecuación estructural:
m = Model(modelo)
m.fit(df)

SolverResult(fun=0.6287051363990743, success=True, n_it=23, x=array([-0.40756035, -0.26698268, -1.02704674, -0.20562213,  8.31741677,
        1.13744928]), message='Optimization terminated successfully', name_method='SLSQP', name_obj='MLW')

Estos resultados muestran que SEM aplica el método de Máxima Verosimilitud, incluyendo la función objetivo.

Información del modelo de ecuación estructural

El siguiente código recupera la información sobre SEM relacionada con el nombre del objetivo, el método de optimización, el valor del objetivo y el número de iteraciones.

# Información del modelo:
print(m.fit(df))

Name of objective: MLW
Optimization method: SLSQP
Optimization successful.
Optimization terminated successfully
Objective value: 0.629
Number of iterations: 1
Params: -0.408 -0.267 -1.027 -0.206 8.317 1.137

El siguiente código devuelve los valores que SEM predice y luego tabula esos valores (consulte la Tabla 6).

# Realizar predicciones:
predicciones = m.predict(df)
predicciones

Tabla 6. Gasto de consumo final real y previsto de Suecia

El siguiente gráfico muestra los valores reales y previstos del gasto de consumo final sueco.

import wbdata
import matplotlib.pyplot as plt

# Valores reales y previstos del gasto de consumo final sueco:
predicciones["consumo_final"].plot(lw = 4)
df["consumo_final"].plot(lw = 4)
plt.title("Gasto de consumo final real y previsto de Suecia")
plt.xlabel("Fecha")
plt.ylabel("Gasto de consumo final")
plt.show()

El gráfico anterior demuestra que SEM es hábil para predecir el gasto de consumo final sueco.

Inspección del modelo de ecuación estructural

El siguiente código recupera las estimaciones, el error estándar, el valor z y el valor p, luego tabula esta información en la Tabla 7. Puede aplicar el valor p para determinar la importancia de las afirmaciones hipotéticas hechas anteriormente. Además, utilice el error estándar para determinar la magnitud de los errores.

# Inspección del modelo de ecuación estructural:
m.inspect()

Tabla 7. Tabla de perfil del modelo de ecuación estructural

La Tabla 7 muestra que todas las relaciones son significativas (consultar la sección “Visualizar relaciones estructurales” para interpretar mejor estos resultados). Para estudiar más a fondo qué tan bien funciona SEM, use uno de los siguientes:

• El índice de ajuste absoluto (o AFI, por sus siglas en inglés: “Absolute Fit Index”) determina si el modelo se ajusta a los datos mediante la aplicación de pruebas como la prueba de razón de verosimilitud. Al aplicar estos índices, concéntrese principalmente en el valor de χ2 (Ji cuadrada).
• El índice de ajuste incremental incluye el índice de ajuste normado (o NFI, por sus siglas en inglés: “Normed-Fit Index”), que compara el valor de χ2 del modelo con el χ2 del modelo nulo, y el índice de ajuste comparativo (o CFI, por sus siglas en inglés: “Comparative Fit Index”), que compara el valor de χ2 del modelo con el χ2 de el modelo nulo, considerando el tamaño de la muestra.

Índices de informes

El siguiente código recupera los índices del informe (consultar la Tabla 8).

# Índices de informes:
estadisticas = semopy.calc_stats(m)
estadisticas.transpose()

Tabla 8. Índices de informes

La Tabla 8 muestra que SEM pierde alrededor del 11 de la información cuando explica el proceso de generación de datos (consulte el AIC, que nos dice mucho sobre la calidad del modelo). Los grados de libertad son 4 y χ2 es 38.97972. El índice más importante es el valor p de χ2. Lo aplicamos para decidir si aceptamos o rechazamos las siguientes hipótesis:

H0: Los resultados no son estadísticamente significativos.
HA: Los resultados son estadísticamente significativos.

La Tabla 8 muestra que el valor p de χ2 es 0.00000007033982, que es menor que 0.05. Eso significa que rechazamos la hipótesis nula a favor de la alternativa. Los resultados son estadísticamente significativos.

Visualizar relaciones estructurales

El siguiente gráfico muestra la relación entre las variables. También traza las estimaciones de covarianza y el valor p. Use el siguiente código para graficar dicha información.

# !pip install graphviz
import graphviz
import semopy

# Visualizar relaciones estructurales:
g = semopy.semplot(m, 
                   "semplot.png", 
                   plot_covs = True)

# Gráfica del modelo de ecuación estructural:
g

El gráfico anterior muestra que:

• La inflación sueca/índice de precios al consumidor afecta el gasto de consumo final. Varían en −0.267.
  
• El crecimiento del PIB per cápita sueco impacta en el gasto de consumo final. Varían en −0.206.
  
• La esperanza de vida sueca fortalece la relación (negativa) entre el crecimiento del PIB per cápita y el gasto de consumo final.
  
• El crecimiento del PIB per cápita sueco varía con la esperanza de vida en −0.408 y la esperanza de vida varía con el gasto de consumo final en −1.027.

Conclusión

En esta entrada se introdujo SEM. Se exploraon las relaciones estructurales entre el crecimiento del PIB per cápita sueco, la inflación/índice de precios al consumidor y el gasto de consumo final. Además, se exploró el efecto mediador de la esperanza de vida sueca en la relación entre el crecimiento del PIB per cápita y el gasto de consumo final.

Primero, se explicó cómo desarrollar un marco teórico que se puede probar aplicando el método. En segundo lugar, se cubrió cómo determinar la variabilidad conjunta mediante la aplicación de la covarianza, cómo determinar la asociación mediante la aplicación de la correlación de Pearson y cómo determinar la gravedad de la correlación mediante la aplicación de la matriz propia. Se vió cómo reducir los datos aplicando el análisis de componentes principales. Por último, se desarrolló SEM y se encontró que los resultados son significativos.